Modelagem 06: Modelos Espaciais — Autocorrelação, Regressão e Varredura

Equipe climasus4r

17/10/2026

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Objetivo

Ao final deste tutorial você será capaz de:

1. Construir uma matriz de pesos espaciais Queen a partir de polígonos de municípios com sus_mod_spatial_weights();
2. Calcular e interpretar o I de Moran global e os clusters LISA locais (HH/LL/HL/LH) com sus_mod_spatial_moran() e sus_mod_plot_spatial_moran();
3. Ajustar e comparar modelos de regressão espacial (SAR, SEM, SDM, SAC) com sus_mod_spatial_reg(), extraindo coeficientes e impactos direto/indireto/total;
4. Detectar clusters geográficos de excesso de casos com a estatística de varredura de Kulldorff via sus_mod_spatial_scan() e sus_mod_plot_spatial_scan().

Este tutorial cobre a etapa de análise espacial do pipeline climasus4r — a que precede os modelos Bayesianos espaciais (Tutorial 07) e segue os modelos de Machine Learning (Tutorial 05).

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Contexto científico

Por que a dimensão espacial importa em saúde ambiental?

Dados de saúde coletados em municípios vizinhos raramente são independentes entre si. A dependência espacial emerge de fatores compartilhados (clima, poluição, acesso a serviços, comportamento social) que variam suavemente no espaço. Ignorá-la produz estimadores ineficientes, intervalos de confiança incorretos e, em última análise, inferências equivocadas sobre a associação exposição–desfecho (Anselin, 1988; Bivand, Pebesma & Gomez-Rubio, 2013).

A análise espacial clássica em epidemiologia envolve três perguntas:

• Existe dependência espacial? (testes de autocorrelação)
• Onde estão os clusters? (LISA, varredura de Kulldorff)
• O efeito de uma exposição se propaga para municípios vizinhos? (spillovers; regressão espacial)

Nota sobre CRS e unidades. As funções sus_mod_spatial_weights() e sus_mod_spatial_moran() aceitam objetos sf em qualquer CRS, mas o parâmetro snap de poly2nb() é interpretado nas unidades do CRS utilizado. Para CRS geográfico (graus, e.g. SIRGAS 2000 / EPSG:4674, padrão do geobr), o valor snap = 1e-3 corresponde a ≈ 0,001° ≈ 100 m, adequado para fechar pequenas lacunas nas fronteiras dos polígonos municipais do IBGE. Para CRS projetados em metros (e.g. SIRGAS2000 / UTM), valores entre 1 e 100 metros são mais apropriados.

MAUP (Problema da Unidade de Área Modificável). Os resultados desta etapa dependem da escala de agregação adotada (município, microrregião, UF). Um I de Moran calculado a nível municipal pode diferir significativamente do calculado a nível de microrregião, mesmo com os mesmos dados brutos. Isso se deve ao MAUP (Openshaw & Taylor, 1979): a forma e o tamanho das unidades espaciais influenciam todos os indicadores derivados. Recomenda-se verificar a robustez dos resultados em pelo menos duas escalas antes de fazer inferências (Fotheringham & Wong, 1991).

I de Moran

O I de Moran global (Moran, 1950) mede se valores altos (ou baixos) tendem a ocorrer próximos uns dos outros. Ele é definido como:

$$I = \frac{n}{\sum_{i}\sum_{j}w_{ij}} \frac{\sum_{i}\sum_{j}w_{ij}(x_i-\bar{x})(x_j-\bar{x})}{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}$$

onde $n$ é o número de unidades espaciais, $\sum_{i}\sum_{j} w_{ij}$ é a soma total dos pesos espaciais, $x_i$ é o valor da variável de interesse na unidade $i$, $\bar{x}$ é a média global, e $w_{ij}$ é o peso espacial entre as unidades $i$ e $j$ (com $w_{ii} = 0$).

Com pesos row-standardizados (style = "W"), cada $w_{ij} = 1/n_i$, onde $n_i$ é o número de vizinhos de $i$, e $S_0 = n$. Assim, o lag espacial $Wz_i = \sum_j w_{ij} z_j$ é simplesmente a média ponderada dos valores nos vizinhos.

Valores de $I$ próximos a $+1$ indicam clustering positivo (similaridade espacial); $I \approx -1$ indica dispersão espacial (unidades com valores altos cercadas por baixos, e vice-versa); $I \approx E[I] = -1/(n-1)$ indica distribuição aleatória.

A inferência é feita por permutação Monte Carlo — sus_mod_spatial_moran() usa spdep::moran.mc() para o teste global e spdep::localmoran_perm() para os testes locais LISA.

LISA — Indicadores Locais de Associação Espacial

Os indicadores LISA (Anselin, 1995) decompõem o I global em contribuições individuais de cada unidade, permitindo identificar hotspots (HH: alto cercado de alto), coldspots (LL: baixo cercado de baixo) e outliers espaciais (HL e LH). A classificação usa o diagrama de Moran ($z_i$ vs. $Wz_i$, o lag espacial de $z$):

Quadrante	$z_i$	$Wz_i$	Interpretação
HH	> 0	> 0	Hotspot (ponto quente)
LL	< 0	< 0	Coldspot (ponto frio)
HL	> 0	< 0	Outlier alto em região baixa
LH	< 0	> 0	Outlier baixo em região alta
NS	—	—	Não significativo

Modelos de regressão espacial

Quando a autocorrelação espacial é confirmada, modelos OLS são inadequados. O climasus4r implementa quatro famílias de modelos via spatialreg (Bivand & Piras, 2015):

Modelo	Sigla	Parâmetro	Equação simplificada
Spatial Autoregressive	SAR	$\rho$	$y = \rho W y + X\beta + \varepsilon$
Spatial Error	SEM	$\lambda$	$y = X\beta + u;\; u = \lambda W u + \varepsilon$
Spatial Durbin	SDM	$\rho$ + $\theta$	$y = \rho W y + X\beta + WX\theta + \varepsilon$
Spatial Autocorrelation	SAC	$\rho$, $\lambda$	$y = \rho W_1 y + X\beta + u;\; u = \lambda W_2 u + \varepsilon$

Para modelos SAR/SDM/SAC, o efeito total de uma covariável é decomposto em impacto direto (própria unidade) + impacto indireto (spillover para vizinhos) = impacto total (LeSage & Pace, 2009).

Estatística de varredura de Kulldorff

O método de Kulldorff (1997) impõe janelas circulares de raio variável sobre o mapa e, para cada janela candidata $Z$, calcula a razão de verossimilhança (LR) sob o modelo Poisson, somente quando a taxa interna excede a taxa externa ($C_{in}/E_{in} > C_{out}/E_{out}$):

$$\text{LR}(Z) = \mathbb{1}\!\left[\frac{C_{in}}{E_{in}} > \frac{C_{out}}{E_{out}}\right] \cdot \left(\frac{C_{in}}{E_{in}}\right)^{\!C_{in}} \left(\frac{C_{out}}{E_{out}}\right)^{\!C_{out}}$$

onde $C_{in}$ e $E_{in}$ são, respectivamente, os casos observados e esperados dentro da janela, e $C_{out}$ e $E_{out}$ os correspondentes fora da janela. A janela com o maior LR é o cluster mais provável; seu p-valor é obtido por comparação com a distribuição empírica de máximos LR sob $n_{sim}$ permutações de Monte Carlo (sob a hipótese nula de distribuição uniforme de casos proporcionalmente à população).

A função sus_mod_spatial_scan() delega o cálculo a SpatialEpi::kulldorff(), que exige coordenadas geográficas (longitude/latitude, WGS 84). Por isso, os centroides dos polígonos são reprojetados para EPSG:4326 internamente antes do cálculo.

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Dados utilizados

O caso condutor é: “Temperatura e desfechos de saúde em idosos (60+) na Região Metropolitana de São Paulo, 2014–2019” (causas respiratórias J00–J99).

Para esta etapa utilizamos:

Objeto	Arquivo	Conteúdo
rmsp_sf	dados/caso_espacial.rds	sf da RMSP com n_obitos e pop por município
mod_weights	dados/mod_weights.rds	Pesos Queen construídos neste tutorial

Se caso_espacial.rds estiver ausente ou incompleto, o script de geração sintetiza um painel mínimo realista da RMSP com 39 municípios, preservando gradientes espaciais plausíveis para fins didáticos.

Código IBGE de municípios. O climasus4r usa o código IBGE de 7 dígitos como identificador único de municípios (e.g. 3550308 para São Paulo-SP). Os dois primeiros dígitos identificam a UF (35 = São Paulo) e os cinco seguintes identificam o município dentro da UF. Certifique-se de que a coluna code_muni no seu sf siga esse padrão — o geobr já a fornece corretamente. Códigos de 6 dígitos (padrão antigo) devem ser convertidos antes de usar as funções sus_mod_spatial_*().

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Pipeline completo

Carregue o pacote e os dados antes de qualquer análise. Os caminhos abaixo assumem que o script é executado a partir da raiz do pacote (climasus4r/), que é onde o script scripts/modelagem_06_espacial.R salva os artefatos.

library(climasus4r)
library(dplyr)

# Dados espaciais da RMSP (gerados por scripts/modelagem_06_espacial.R)
# Caminhos relativos à raiz do pacote (não à pasta vignettes-pt/).
rmsp_sf <- if (file.exists("vignettes-pt/dados/caso_espacial.rds")) {
  obj <- readRDS("vignettes-pt/dados/caso_espacial.rds")
  # Converter para sf e agregar por município (média do período)
  if (requireNamespace("sf", quietly = TRUE) &&
      "geom" %in% names(obj) &&
      inherits(obj[["geom"]], "sfc")) {
    sf_obj <- sf::st_as_sf(obj)
    dplyr::group_by(sf_obj, code_muni) |>
      dplyr::summarise(
        n_obitos  = mean(n_obitos, na.rm = TRUE),
        name_muni = dplyr::first(name_muni),
        pop       = mean(pop, na.rm = TRUE),
        temp_med  = mean(temp_med, na.rm = TRUE),
        .groups   = "drop"
      )
  } else {
    message("Objeto sf não encontrado; verifique caso_espacial.rds.")
    NULL
  }
} else {
  message("Execute scripts/modelagem_06_espacial.R para gerar os dados.")
  NULL
}

# Calcular taxa de mortalidade por 100 mil habitantes
if (!is.null(rmsp_sf) && !"taxa_obitos" %in% names(rmsp_sf)) {
  rmsp_sf$taxa_obitos <- rmsp_sf$n_obitos / rmsp_sf$pop * 1e5
}

Passo 1 — Construir a matriz de pesos espaciais

Contiguidade Queen vs. Rook. A contiguidade Queen considera dois municípios vizinhos quando seus polígonos compartilham um vértice ou uma aresta (8 direções). A contiguidade Rook restringe a vizinhança a municípios que compartilham uma aresta (4 direções). Para polígonos municipais do IBGE, onde municípios podem se tocar apenas num ponto, a contiguidade Queen é a mais adequada e é o padrão do pacote (queen = TRUE).

Row-standardização (style = "W"). Com essa normalização, cada peso $w_{ij} = 1/n_i$ (onde $n_i$ é o número de vizinhos de $i$), de forma que $\sum_j w_{ij} = 1$ para toda unidade $i$ com vizinhos. Isso facilita a interpretação do lag espacial $Wz_i$ como uma média dos valores nos vizinhos e é o estilo padrão para I de Moran e modelos SAR/SEM.

mod_weights <- sus_mod_spatial_weights(
  municipalities = rmsp_sf,
  style          = "W",        # row-standardised: sum(w_ij) = 1 para cada i
  queen          = TRUE,       # contiguidade Queen (vértice ou aresta)
  snap           = 1e-3,       # tolerância para gaps (em graus, CRS SIRGAS2000)
  zero_policy    = TRUE,       # permite ilhas espaciais (sem vizinho)
  return_matrix  = FALSE,      # não retorna a matriz densa W (economia de memória)
  lang           = "pt",
  verbose        = TRUE
)
print(mod_weights)

# Salvar para reuso em tutoriais subsequentes (Tutorial 07 — Bayes Espacial)
save_tbl(mod_weights, "mod_weights")

Passo 2 — Autocorrelação espacial global + LISA

# Dados tabulares sem geometria (sus_mod_spatial_moran aceita data.frame ou
# climasus_df; a coluna code_muni deve estar presente)
df_tabular <- sf::st_drop_geometry(rmsp_sf)

# A taxa já foi calculada no passo de carregamento; verificar e recalcular
# se necessário
if (!"taxa_obitos" %in% names(df_tabular)) {
  df_tabular$taxa_obitos <- df_tabular$n_obitos / df_tabular$pop * 1e5
}

moran_resultado <- sus_mod_spatial_moran(
  df           = df_tabular,
  outcome      = "taxa_obitos",  # coluna numérica de desfecho (arg: "outcome")
  W            = mod_weights,    # climasus_weights do passo anterior
  municipalities = NULL,         # NULL: usa todas as linhas na ordem de W
  permutations = 999L,
  alpha        = 0.05,
  adjust_p     = "fdr",          # correção FDR (Benjamini-Hochberg)
  lang         = "pt",
  verbose      = TRUE
)
print(moran_resultado)

# Mapa LISA de clusters (HH/LL/HL/LH/NS)
sus_mod_plot_spatial_moran(
  x              = moran_resultado,
  municipalities = rmsp_sf,
  type           = "map",
  alpha          = 0.05,
  lang           = "pt"
)

# Diagrama de dispersão de Moran (z vs. Wz)
sus_mod_plot_spatial_moran(
  x    = moran_resultado,
  type = "scatter",
  lang = "pt"
)

# Ambos os painéis lado a lado (requer patchwork)
sus_mod_plot_spatial_moran(
  x              = moran_resultado,
  municipalities = rmsp_sf,
  type           = "both",
  lang           = "pt"
)

Passo 3 — Regressão espacial (SAR / SEM / SDM / SAC)

# Garantir que df_reg não contém geometria (sus_mod_spatial_reg descarta
# automaticamente, mas é boa prática passar um data.frame puro)
df_reg <- sf::st_drop_geometry(rmsp_sf)

# Verificar / calcular taxa
if (!"taxa_obitos" %in% names(df_reg)) {
  df_reg$taxa_obitos <- df_reg$n_obitos / df_reg$pop * 1e5
}

# Modelo SAR (Spatial Lag) — rho: spillover do desfecho entre municípios
# Estimado via spatialreg::lagsarlm() com método de ML exato ("eigen")
reg_sar <- sus_mod_spatial_reg(
  df          = df_reg,
  formula     = taxa_obitos ~ temp_med,
  W           = mod_weights,
  model       = "lag",      # SAR: y = rho * W*y + X*beta + epsilon
  method      = "eigen",    # ML exato; use "LU" ou "Chebyshev" para n > 2.000
  zero_policy = TRUE,
  lang        = "pt",
  verbose     = TRUE
)
print(reg_sar)

# Impactos direto/indireto/total (calculados internamente com R = 200 simulações)
# $impacts é NULL para modelos SEM (sem lag do desfecho)
reg_sar$impacts

# Diagnóstico: I de Moran nos resíduos — deve ser não-significativo se o modelo
# capturou a autocorrelação espacial adequadamente
reg_sar$moran_residuals

# Modelo SEM (Spatial Error) — lambda: erro espacialmente autocorrelacionado
# Indicado quando a autocorrelação é devida a variáveis omitidas espacialmente
# estruturadas (e.g. poluição não mensurada, gradientes socioeconômicos)
reg_sem <- sus_mod_spatial_reg(
  df      = df_reg,
  formula = taxa_obitos ~ temp_med,
  W       = mod_weights,
  model   = "error",   # SEM: y = X*beta + u; u = lambda * W*u + epsilon
  lang    = "pt",
  verbose = FALSE
)

# Comparação de AIC: menor AIC = melhor ajuste (penalizando complexidade)
# OLS ignora autocorrelação; SAR/SEM incorporam de formas distintas
data.frame(
  modelo = c("OLS", "SAR", "SEM"),
  AIC    = c(reg_sar$lm_aic, reg_sar$aic, reg_sem$aic)
)

# Modelo SDM (Spatial Durbin) — rho + covariáveis defasadas espacialmente
# Estimado via lagsarlm(Durbin = TRUE): inclui W*X além do W*y
# Recomendado quando há razão para acreditar que covariáveis de municípios
# vizinhos também afetam o desfecho (e.g. temperatura regional)
reg_sdm <- sus_mod_spatial_reg(
  df      = df_reg,
  formula = taxa_obitos ~ temp_med,
  W       = mod_weights,
  model   = "durbin",  # SDM: y = rho*W*y + X*beta + W*X*theta + epsilon
  lang    = "pt",
  verbose = FALSE
)
reg_sdm$impacts   # direto, indireto e total por covariável

# Modelo SAC (rho + lambda) — modelo mais geral; lag do desfecho E erro espacial
# Estimado via spatialreg::sacsarlm(); usa a mesma matriz W para ambos
# os componentes por padrão
reg_sac <- sus_mod_spatial_reg(
  df      = df_reg,
  formula = taxa_obitos ~ temp_med,
  W       = mod_weights,
  model   = "sac",   # SAC: y = rho*W*y + X*beta + u; u = lambda*W*u + epsilon
  lang    = "pt",
  verbose = FALSE
)
reg_sac$rho    # parâmetro de lag do desfecho
reg_sac$lambda # parâmetro de erro espacial

Passo 4 — Detecção de clusters: varredura de Kulldorff

# sus_mod_spatial_scan() requer um data.frame com code_muni, cases e population.
# Os centroides dos polígonos são reprojetados para WGS 84 (EPSG:4326)
# internamente para calcular as distâncias usadas pelas janelas circulares.
df_scan <- data.frame(
  code_muni  = as.character(rmsp_sf$code_muni),
  cases      = as.integer(round(rmsp_sf$n_obitos)),
  population = as.integer(rmsp_sf$pop),
  stringsAsFactors = FALSE
)

scan_resultado <- sus_mod_spatial_scan(
  df             = df_scan,
  cases          = "cases",
  population     = "population",
  municipalities = rmsp_sf,
  expected       = NULL,      # NULL → Poisson simples (taxa global × pop_i)
  max_pop_frac   = 0.5,       # janela máxima contém ≤ 50% da pop. total
  n_simulations  = 999L,      # para publicação use 9999L
  alpha          = 0.05,
  lang           = "pt",
  verbose        = TRUE
)
print(scan_resultado)

# Cluster mais provável: location_ids, RR, log_lik, p_value
scan_resultado$most_likely_cluster

# Clusters secundários (lista de listas, mesma estrutura)
scan_resultado$secondary_clusters

# Mapa de Risco Relativo (escala contínua divergente)
sus_mod_plot_spatial_scan(
  x              = scan_resultado,
  municipalities = rmsp_sf,
  show_rr        = TRUE,
  alpha          = 0.05,
  lang           = "pt"
)

# Mapa categórico (mais provável / secundário / fundo)
sus_mod_plot_spatial_scan(
  x              = scan_resultado,
  municipalities = rmsp_sf,
  show_rr        = FALSE,
  alpha          = 0.05,
  lang           = "pt"
)

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Características das funções

sus_mod_spatial_weights() — Matriz de pesos

Objetivo. Constrói um objeto climasus_weights (subclasse de lista) com a estrutura de vizinhança espacial necessária para todos os demais modelos espaciais do climasus4r.

Argumentos principais:

Argumento	Padrão	Significado
municipalities	—	sf com polígonos de municípios
style	"W"	Normalização: "W" (row-std), "B" (binário), "C", "U", "S", "minmax"
queen	TRUE	TRUE = Queen (vértice ou aresta); FALSE = Rook (só aresta)
snap	NULL → 1e-3	Tolerância para gaps em fronteiras
zero_policy	TRUE	Permite ilhas (municípios sem vizinho)
return_matrix	FALSE	Retornar a matriz densa $W$ ($n \times n$)

Retorno (climasus_weights):

$listw      — objeto spdep::listw pronto para modelagem
$nb         — lista de vizinhos (spdep::nb)
$n_regions  — número total de regiões
$n_islands  — número de ilhas (sem vizinhos)
$island_ids — códigos das ilhas (vetor de caracteres, vazio se nenhuma)
$W          — matriz densa W n×n (NULL se return_matrix = FALSE)
$style      — estilo de normalização usado
$call       — chamada original

Dica prática. Para dados do IBGE com CRS geográfico (SIRGAS2000 / EPSG:4674), use snap = 1e-3 (padrão). Para polígonos em CRS projetado (metros), ajuste snap para 1–100 m. Municípios sem vizinhos (ilhas, e.g. Fernando de Noronha) não causam erro com zero_policy = TRUE, mas resultam em lag espacial NA — verifique $island_ids. Use style = "B" (binário) somente quando quiser ponderar pela presença de vizinhança sem normalizar pelo número de vizinhos (e.g. em modelos Bayesianos do tipo ICAR).

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sus_mod_spatial_moran() — I de Moran global + LISA

Objetivo. Testa a autocorrelação espacial global pelo I de Moran (via permutação Monte Carlo) e classifica cada unidade em um quadrante LISA.

Argumentos principais:

Argumento	Padrão	Significado
df	—	data.frame ou climasus_df com code_muni e a coluna de desfecho
outcome	—	Nome da coluna numérica de desfecho (e.g. "taxa_obitos")
W	—	Objeto climasus_weights de sus_mod_spatial_weights()
municipalities	NULL	Vetor de code_muni para filtrar/reordenar df
permutations	999L	Permutações Monte Carlo (nsim em spdep::moran.mc)
alpha	0.05	Nível de significância para classificação LISA
adjust_p	"fdr"	Correção de múltiplos testes: "fdr", "bonferroni", "none"

Retorno (climasus_spatial_moran):

$global       — data.frame com I, E.I, Var.I, Z.I, p_value, p_simulated
$local        — data.frame com code_muni, Ii, Z.Ii, p_raw, p_adj, quadrant
$n_HH         — número de hotspots (HH)
$n_LL         — número de coldspots (LL)
$n_HL         — número de outliers HL
$n_LH         — número de outliers LH
$outcome_name — nome da coluna de desfecho
$call         — chamada original

Sobre p_value vs p_simulated. O p_value no slot $global é o p-valor assintótico (distribuição normal). O p_simulated é o p-valor por permutação Monte Carlo — preferível para amostras pequenas (n < 30 municípios) ou distribuições assimétricas. Para os testes LISA locais ($local), os p-valores já são por permutação condicional (spdep::localmoran_perm()), corrigidos pelo método especificado em adjust_p.

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sus_mod_plot_spatial_moran() — Visualização LISA

Objetivo. Produz um mapa coroplético LISA e/ou um diagrama de dispersão de Moran a partir de um objeto climasus_spatial_moran.

Tipos disponíveis (type=):

type	Descrição	Requer municipalities
"map"	Mapa coroplético HH/LL/HL/LH/NS	Sim
"scatter"	Diagrama de dispersão $z$ vs. $Wz$	Não
"both"	Ambos lado a lado via patchwork	Sim

Retorno: objeto ggplot (ou lista nomeada list(map, scatter) se patchwork não estiver disponível para type = "both").

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sus_mod_spatial_reg() — Regressão espacial

Objetivo. Ajusta modelos de máxima verossimilhança SAR/SEM/SDM/SAC via o pacote spatialreg, reporta coeficientes, parâmetros espaciais, impactos e Moran dos resíduos.

Modelos disponíveis (model=):

model	Família	Parâmetro espacial	Estimado via
"lag"	SAR	$\rho$	spatialreg::lagsarlm()
"error"	SEM	$\lambda$	spatialreg::errorsarlm()
"durbin"	SDM	$\rho$ + $\theta_{WX}$	spatialreg::lagsarlm(Durbin=TRUE)
"sac"	SAC	$\rho$ + $\lambda$	spatialreg::sacsarlm()

Argumentos principais:

Argumento	Padrão	Significado
df	—	data.frame ou climasus_df (geometria sf é descartada automaticamente)
formula	—	Fórmula R padrão (desfecho ~ cov1 + cov2)
W	—	Objeto climasus_weights de sus_mod_spatial_weights()
model	"lag"	Família de modelo (ver tabela acima)
method	"eigen"	Método de estimação: "eigen" (ML exato), "LU", "Chebyshev", "MC"
zero_policy	TRUE	Permite ilhas (municípios sem vizinhos)
lang	"pt"	Idioma das mensagens
verbose	TRUE	Exibir mensagens de progresso

Retorno (climasus_spatial_reg):

$model           — tipo de modelo ("lag", "error", "durbin", "sac")
$model_label     — rótulo legível ("SAR (Spatial Lag)", ...)
$coefficients    — data.frame: term, estimate, std_error, z_value, p_value
$rho             — parâmetro de lag espacial ρ (NULL para SEM)
$lambda          — parâmetro de erro espacial λ (NULL para SAR/SDM)
$impacts         — data.frame: term, direct, indirect, total
                   (calculado com R = 200 via spatialreg::impacts();
                    NULL para SEM, onde os impactos = coeficientes OLS)
$aic             — AIC do modelo espacial
$lm_aic          — AIC do baseline OLS (mesma fórmula, mesmos dados)
$moran_residuals — lista: I, p_value, z (teste de Moran nos resíduos)
$fitted          — valores ajustados
$residuals       — resíduos do modelo
$call            — chamada original

Diagnóstico de resíduos. O elemento $moran_residuals contém o resultado de spdep::moran.test() aplicado aos resíduos do modelo. Um p-valor não significativo (> 0,05) indica que o modelo espacial absorveu adequadamente a autocorrelação. Se o Moran dos resíduos permanecer significativo mesmo após o SAR/SEM, considere o SDM (covariáveis defasadas) ou um modelo Bayesianos hierárquico (Tutorial 07).

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sus_mod_spatial_scan() — Varredura de Kulldorff

Objetivo. Aplica a estatística de varredura circular de Kulldorff para detectar o cluster mais provável e clusters secundários de excesso de casos, com inferência por Monte Carlo.

Argumentos principais:

Argumento	Padrão	Significado
df	—	data.frame com code_muni, colunas de cases e population
cases	—	Nome da coluna de contagem de casos (inteiros ≥ 0)
population	—	Nome da coluna de população em risco
municipalities	—	sf com polígonos e code_muni
expected	NULL	Nome da coluna de esperados (NULL: taxa global × pop_i)
max_pop_frac	0.5	Fração máxima da pop. total em uma única janela
n_simulations	999L	Simulações Monte Carlo (use 9999L para publicação)
alpha	0.05	Nível de significância para clusters secundários
lang	"pt"	Idioma das mensagens
verbose	TRUE	Exibir mensagens de progresso

Retorno (climasus_spatial_scan):

$most_likely_cluster — lista: location_ids (code_muni), observed, expected,
                       RR (razão de verossimilhança de excesso), log_lik, p_value
$secondary_clusters  — lista de listas com a mesma estrutura
$n_clusters          — total de clusters significativos (incluindo o mais provável)
$data                — tibble: code_muni, cases, population, expected, in_mlc
$meta                — parâmetros: cases_col, population_col, max_pop_frac,
                       n_simulations, alpha, n_municipalities, call_time
$call                — chamada original

CRS e centroides. A função sus_mod_spatial_scan() usa sf::st_centroid() após reprojetar os polígonos para WGS 84 (EPSG:4326), pois SpatialEpi::kulldorff() requer coordenadas em longitude/latitude. O objeto municipalities pode estar em qualquer CRS — a reprojeção é feita internamente. A janela de varredura é circular no espaço geográfico (lat/lon), não no espaço projetado.

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sus_mod_plot_spatial_scan() — Mapa de clusters

Objetivo. Renderiza um mapa coroplético dos resultados do scan de Kulldorff com codificação de RR contínuo ou categórica.

Argumento show_rr:

show_rr	Codificação	Escala
TRUE (padrão)	Risco Relativo do cluster (contínuo)	Gradiente divergente (navy–branco–vermelho, centro em RR = 1)
FALSE	Rótulo do cluster (categórico)	Cores discretas por cluster

Retorno: objeto ggplot.

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Resultados ilustrados

Figura 1 — Mapa LISA de clusters de mortalidade respiratória (RMSP)

O mapa a seguir exibe a classificação LISA de cada município da RMSP com base na taxa de mortalidade respiratória média do período 2014–2019. Municípios em vermelho (HH) formam hotspots espaciais — apresentam taxa elevada e estão cercados por vizinhos de taxa igualmente elevada.

Figura 1. Mapa de clusters LISA (autocorrelação espacial local) para a taxa de mortalidade respiratória em idosos na RMSP, 2014–2019. HH = hotspot; LL = coldspot; HL/LH = outlier espacial; NS = não significativo (FDR 5%).

Figura 2 — Diagrama de dispersão de Moran

O diagrama de dispersão posiciona cada município no plano ($z_i$, $Wz_i$): a inclinação da reta de regressão corresponde ao I de Moran global. Pontos no quadrante superior-direito (HH) e inferior-esquerdo (LL) evidenciam clustering positivo; pontos nos quadrantes cruzados (HL, LH) são outliers espaciais.

Figura 2. Diagrama de dispersão de Moran — valor padronizado da taxa de mortalidade (z) versus lag espacial (Wz). A inclinação da reta cinza corresponde ao I de Moran global. Pontos coloridos segundo o quadrante LISA.

Tabela 1 — I de Moran global

Tabela 1. I de Moran global para a taxa de mortalidade respiratória. p_simulated: p-valor por permutação Monte Carlo (999 permutações); p_value: p-valor assintótico.

I	E.I	Var.I	Z.I	p_value	p_simulated
0.30348	-0.0263158	0.0074095	3.831345	6.37e-05	0.002

Figura 3 — Impactos direto, indireto e total (SAR)

No modelo SAR, o coeficiente $\beta$ de uma covariável não representa diretamente o efeito sobre o desfecho — porque a matriz $(I - \rho W)^{-1}$ propaga qualquer choque por toda a rede de vizinhos. Os impactos são decompostos em (LeSage & Pace, 2009):

• Impacto direto: efeito médio da covariável no próprio município;
• Impacto indireto (spillover): efeito médio nos municípios vizinhos, mediado por $\rho$ e pela estrutura de $W$;
• Impacto total = direto + indireto.

O pacote usa spatialreg::impacts() com R = 200 simulações (distribuição de referência por Monte Carlo) para construir os intervalos de confiança.

Figura 3. Decomposição dos impactos direto, indireto e total da temperatura média sobre a taxa de mortalidade respiratória. Modelo SAR (spatial lag), R = 200 simulações via spatialreg::impacts().

Tabela 2 — Coeficientes do modelo SAR

Tabela 2. Coeficientes do modelo SAR (spatial lag). std_error: erro padrão; z_value: estatística z; p_value: p-valor bilateral (testes t assintóticos).

term	estimate	std_error	z_value	p_value
(Intercept)	-314.51778	119.820191	-2.624915	0.0086671
temp_med	28.53836	5.725513	4.984419	0.0000006

Tabela 3 — Comparação de AIC (OLS / SAR / SEM)

A escolha entre OLS, SAR e SEM pode ser guiada pelo AIC (critério de informação de Akaike). O modelo com menor AIC (penalizando a complexidade) é preferível. Uma redução substancial de AIC no SAR ou SEM em relação ao OLS confirma que a autocorrelação espacial é relevante.

Tabela 3. Comparação de AIC entre OLS, SAR (spatial lag) e SEM (spatial error). Menor AIC = melhor ajuste penalizado pela complexidade.

modelo	AIC
OLS	442.51
SAR	440.57
SEM	444.38

Tabela 4 — Diagnóstico: I de Moran nos resíduos (SAR)

Após o ajuste do modelo SAR, o I de Moran nos resíduos deve ser não-significativo, indicando que a autocorrelação espacial foi capturada adequadamente. Um Moran residual ainda significativo sugere especificação insuficiente e orienta para modelos mais complexos (SDM ou Bayes hierárquico).

Tabela 4. I de Moran nos resíduos do modelo SAR. z: estatística padronizada; p_value: p-valor assintótico.

I	z	p_value
-0.110034	-0.959	0.8312

Figura 4 — Mapa de Risco Relativo (Kulldorff, RR contínuo)

O mapa a seguir exibe o RR de cada município pertencente a um cluster significativo detectado pelo scan de Kulldorff. Municípios em vermelho intenso pertencem ao cluster com maior excesso de risco. Municípios sem cor (cinza claro) fazem parte do fundo — não pertencem a nenhum cluster.

Artefato indisponível — rode Rscript scripts/modelagem_06_espacial.R (a partir da raiz do pacote) para gerá-lo.

Figura 5 — Mapa categórico de clusters (Kulldorff)

A versão categórica distingue visualmente o cluster mais provável dos clusters secundários e do fundo, facilitando a comunicação com gestores de saúde que precisam identificar regiões prioritárias de intervenção.

Artefato indisponível — rode Rscript scripts/modelagem_06_espacial.R (a partir da raiz do pacote) para gerá-lo.

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Referências

Anselin, L. (1988). Spatial Econometrics: Methods and Models. Kluwer Academic Publishers.

Anselin, L. (1995). Local indicators of spatial association — LISA. Geographical Analysis, 27(2), 93–115.

Bivand, R. S., Pebesma, E., & Gomez-Rubio, V. (2013). Applied Spatial Data Analysis with R (2nd ed.). Springer.

Bivand, R. S., & Piras, G. (2015). Comparing implementations of estimation methods for spatial econometrics. Journal of Statistical Software, 63(18), 1–36.

Bivand, R. S., & Wong, D. W. S. (2018). Comparing implementations of global indicators of spatial association. TEST, 27(3), 716–748.

Fotheringham, A. S., & Wong, D. W. S. (1991). The modifiable areal unit problem in multivariate statistical analysis. Environment and Planning A, 23(7), 1025–1044.

Kulldorff, M. (1997). A spatial scan statistic. Communications in Statistics — Theory and Methods, 26(6), 1481–1496.

Kulldorff, M., & Nagarwalla, N. (1995). Spatial disease clusters: detection and inference. Statistics in Medicine, 14(8), 799–810.

LeSage, J., & Pace, R. K. (2009). Introduction to Spatial Econometrics. CRC Press / Taylor & Francis.

Moran, P. A. P. (1950). Notes on continuous stochastic phenomena. Biometrika, 37(1–2), 17–23.

Openshaw, S., & Taylor, P. J. (1979). A million or so correlation coefficients: three experiments on the modifiable areal unit problem. In N. Wrigley (Ed.), Statistical Applications in the Spatial Sciences (pp. 127–144). Pion.

Tiefelsdorf, M., Griffith, D. A., & Boots, B. (1999). A variance- stabilizing coding scheme for spatial link matrices. Environment and Planning A, 31(1), 165–180.

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Como reproduzir as figuras. Rode uma única vez, a partir da raiz do pacote: Rscript scripts/modelagem_06_espacial.R. O script salva as figuras em vignettes-pt/figuras/, as tabelas em vignettes-pt/dados/ e o objeto mod_weights.rds que o Tutorial 07 (Bayes Espacial) carregará.